Для тех, кто не в курсе: Великая теорема Ферма гласит, что при натуральном n > 2 не найдётся целых a, b, c таких, что a^n + b^n = c^n. И в 1990-х её наконец доказали, причём доказательство неимоверно сложное. Меня же заинтересовало обобщение для произвольного показателя степени, не обязательно целого и большего 2. Иными словами, вышеприведённое условие, но для произвольного n. Такое обобщение ВТФ здесь для краткости будет называться просто "теорема".

Очевидно, что теорема верна для n = 0 и неверна для n = 1 и n = -1.

При n = -2 теорема неверна, а нужную тройку чисел можно найти по формуле:

a = 2xy(x^2 + y^2); b = x^4 - y^4; c = 2xy(x^2 - y^2),

где х и у - натуральные. Наименьшей такой тройкой чисел будет (20; 15; 12).

При других целых отрицательных n теорема верна, поскольку, как можно видеть, при таких n теорема сводится к стандартной ВТФ с показателем, равным -n. Надо только умножить уравнение a^n + b^n = c^n на (abc)^-n.

Теорема неверна при рациональных показателях степени р = M/N (M целое ненулевое, N целое и большее 1, данная дробь несократима) таких, что |M| = 1 или 2, и верна при |M| > 2. Это можно видеть, если рассмотреть уравнение a^p + b^p = c^p и возвести его в степень N. При этом в левой части будут корни степени N от произведений степеней a и b, меньших N, а в правой - целое число. Таким образом, чтобы нашлось решение, нужно, чтобы числа a, b были целыми N-ми степенями. А это сводит теорему к ВТФ при степени M.

При произвольных действительных х уравнение a^x + b^x = c^x придётся разрешать уже относительно х, чтобы выяснить, при каких х заданная нами тройка {a, b, c} подходит и теорема неверна. Тут есть только некоторые частные случаи, при которых видно, что теорема неверна. Например, если положить, что a = b, имеем: 2a^x = c^x и, таким образом, x = log(2)/(log(c) - log(a)). При этом видно, что таких троек {a, a, c} бесконечно много. С более общим случаем (где a не обязательно равно b) сложнее. Делим уравнение на a^x и полагаем p = b/a, q = c/a, при этом p, q могут быть произвольными положительными рациональными числами. Тогда 1 + p^x = q^x. Это уравнение в общем виде мне решить не удалось. Возможно, его можно решить через функцию Ламберта, эллиптические функции или прочее. Однако видно, что для каждой тройки {a, b, c} показатель единственный. А вот единственная ли эта тройка для данного показателя - отличный вопрос. Как и то, для всякого ли иррационального показателя можно найти решение (что-то мне подсказывает, что нет).

P.S. Естественно, что LaTeX ради меня одного сюда запиливать не будут =)